قياس محيط الأرض باستخدام الظل

المفاهيم الرئيسية

• الرياضيات
• الهندسة
• المحيط
• الزوايا
• خط الاستواء الأرضي

مقدمة

إذا أردت قياس محيط الأرض، فما طول شريط القياس الذي ستستخدمه؟ هل ينبغي عليك أن تمشي المسافة كلها حول الأرض لكي تعرف الإجابة؟ هل تعرف أنه يمكنك قياس محيط الأرض باستخدام مسطرة في مكان واحد؟ جرِّب معنا هذا المشروع لكي تعرف الطريقة!

قبل أن تبدأ، من المهم أن تعرف أن هذا المشروع لن ينجح إلا خلال أسبوعين: في فترة الاعتدال الربيعي حول 20 مارس، أو في فترة الاعتدال الخريفي حول 23 سبتمبر.

خلفية

كم يبلغ محيط الأرض؟ في عصر التكنولوجيا الحديثة، ربما يبدو ذلك سؤالاً سهلًا يملك العلماء الإجابة عنه باستخدام أدوات مثل الأقمار الصناعية وتكنولوجيا GPS (نظام تحديد المواقع)، بل ربما كان الأسهل البحث عن الإجابة على الإنترنت. قد يبدو لك من المستحيل قياس محيط الأرض باستخدام مسطرة فحسب، لكن عالِم الرياضيات الإغريقي إراتوستينس تمكَّن من قياس محيط الأرض قبل أكثر من 2,000 عام دون أي مساعدة من التكنولوجيا الحديثة. كيف فعل ذلك؟ استخدم بعض القواعد البسيطة في علم الهندسة.

في ذلك الوقت، كان إراتوستينس يعيش في مدينة الإسكندرية في مصر، وقرأ حينها أنه في مدينةٍ إلى الجنوب منها، تسمى أسوان، يظهر انعكاس الشمس، في قاع بئر عميقة في يوم محدَّد من السنة. وكان هذا يعني أن الشمس لا بد أن تكون فوق البئر مباشرة. (من الحقائق التي توضح هذا الأمر أن الأشياء المتعامدة تمامًا لا تلقي أي ظلال). في اليوم نفسه في الإسكندرية، كان الجسم العمودي له ظل. باستخدام قواعد الهندسة، استطاع إراتوستينس حساب محيط الأرض بناء على معلومات قليلة كان يعلمها (ومعلومة لم يكن يعلمها):

• كان يعلم أن الدائرة مكونة من 360 درجة.
• استطاع قياس زاوية الظل الخاص بجسم طويل في الإسكندرية.
• كان يعلم مقدار المسافة بين الإسكندرية وأسوان (كانت المدينتان قريبتين إلى الحد الذي يسمح بقياس المسافة بينهما سيرًا على الأقدام).
• المعلومة الوحيدة التي لم يكن يعلمها في المعادلة هي محيط الأرض!

أصبحت المعادلة الناتجة كما يلي:

زاوية الظل في الإسكندرية / 360 درجة = المسافة بين الإسكندرية وأسوان / محيط الأرض

في هذا المشروع، ستجري الحسابات بنفسك، من خلال قياس زاوية ظل المسطرة في مكانك. ينبغي إجراء هذا القياس بالقرب من وقت الاعتدال الربيعي أو الخريفي، عندما تكون الشمس متعامدةً مباشرة على خط الاستواء. بعد ذلك يمكنك الحصول على المسافة بين مدينتك وخط الاستواء، واستخدام المعادلة نفسها التي استخدمها إراتوستينس في حساب محيط الأرض. في اعتقادك، كم ستكون النتيجة التي ستتوصل إليها قريبة من القيمة “الفعلية”؟

هناك قاعدة هندسية بشأن الزوايا التي يشكلها خطٌّ يتقاطع مع خطين متوازيين. افترض إراتوستينس أن الشمس بعيدة للغاية عن الأرض، ما يجعل أشعتها تصل إلى الأرض وهي متوازية فعليًّا. وقاده هذا الافتراض إلى اعتقاد أن زاوية الظل التي قاسها في الإسكندرية، مساوية للزاوية بين الإسكندرية وأسوان، بالنسبة إلى مركز الأرض. إذا شعرت بالارتباك من هذه المعلومات، فلا تقلق! من الأسهل أن نوضح الأمر بصورة بصرية. انظر المراجع في قسم “المزيد للاكتشاف” للاطلاع على بعض الرسوم التوضيحية المفيدة وشرح تفصيلي لقوانين الهندسة المستخدمة.

الأدوات

• يوم مشمس في الاعتدال الربيعي (20 مارس) أو الخريفي (23 سبتمبر)
• أرض مستوية منبسطة تقع عليها أشعة الشمس المباشرة في وقت الظهيرة
• مسطرة
• متطوع يمسك لك المسطرة في حين تسجِّل القياسات (أو إذا كنت تجري التجربة وحدك، يمكنك غرس طرف المسطرة في وعاء مملوء بالرمال أو الطين، لتثبيتها بشكل عمودي مستقيم)
• عصا أو حصاة لتحديد مكان الظل
• آلة حاسبة
• منقلة لقياس الزوايا
• خيط طويل
• اختياري: مثقال خيطي (يمكنك إنشاء واحد بنفسك من خلال ربط ثقل صغير بنهاية خيط) أو ميزان مياه، للتأكد من أن المسطرة عمودية على الأرض.

الإعداد

• تابع نشرة الأخبار الجوية المحلية أيامًا عدة، واختر يومًا صحوًا ومشمسًا في فترة الظهيرة (لديك مدة أسبوعين لإجراء هذا المشروع، فلا تشعر بالإحباط إذا ظهرت بعض السحب! يمكنك تكرار المحاولة في يوم آخر).
• اعرف مواعيد الشروق والغروب في الصحيفة المحلية أو في التقويم الورقي في المنزل، أو من موقع على الإنترنت حول الطقس والمناخ والفلك. ستحتاج لحساب “فترة الظهيرة الشمسية”، وهو الوقت في منتصف المدة بين الشروق والغروب، وفيه تكون الشمس متعامدة مباشرة على الأرض. وقد لا يكون ذلك الوقت بالضرورة هو الساعة 12 بالضبط.
• اخرج وجهز المواد قبل فترة الظهيرة الشمسية بعشر دقائق؛ حتى يصبح كلُّ شيء مُعَدًّا وجاهزًا.

الخطوات

• ضع المسطرة في وضع عمودي في منطقة مشمسة قبل وقت الظهيرة الشمسية.
• إذا كان معك أحد المتطوعين، فاطلب منه تثبيت المسطرة. إذا لم يكن معك متطوع، فثبت أحد طرفي المسطرة في وعاء من الرمال أو الطين حتى تظل مستقيمة وعمودية.
• إذا كان لديك مثقال خيطي أو ميزان مائي، فاستخدمه للتأكُّد من أن المسطرة مثبتة عموديًّا تمامًا. وإلا فاحرص على أن تجعلها كذلك بالنظر القريب والمتمعن فيها.
• في وقت الظهيرة، ضع علامةً عند نهاية ظل المسطرة على الأرض، باستخدام عصا أو حصاة.
• ارسم خطًّا وهميًّا بين أعلى المسطرة ونهاية ظلها. فهدفك هو قياس الزاوية بين هذا الخط والمسطرة. اطلب من المتطوع معك أن يمد خيطًا بين أعلى المسطرة ونهاية ظلها.
• استخدم منقلة لقياس الزاوية بين الخيط على الأرض والعصا بالدرجات، وسجِّل هذا القياس.
• اعرف المسافة بين مدينتك وخط الاستواء.
• احسب محيط الأرض باستخدام هذه المعادلة:

محيط الأرض = 360 × المسافة بين مدينتك وخط الاستواء / زاوية الظل التي قستها.

• ما القيمة التي حصلت عليها؟ ما مدى اقترابها من المحيط الحقيقي للأرض (انظر قسم “الملحوظات والنتائج”)؟
• خطوة إضافية: حاول تكرار الاختبار في أيام مختلفة قبل هذا اليوم، خلال فترة الاعتدال الشمسي: أو في أوقات مختلفة قبل فترة الظهيرة الشمسية وفي أثنائها وبعدها. ما مدى الاختلاف في دقة النتائج؟
• خطوة إضافية: اطلب من صديق أو قريب في مدينة مختلفة إجراء التجربة في اليوم نفسه، وقارن بين النتائج. هل حصلتما على القيمة نفسها؟
• الملحوظات والنتائج

في عام 200 قبل الميلاد، قدَّر إراتوستينس محيط الأرض بأنه يساوي 46,250 كيلومترًا (28,735 ميلًا). في الوقت الحالي، نحن نعلم أن محيط كوكبنا يساوي 40 ألف كيلومتر (24,850 ميلًا). وهي نتيجة لا بأس بها بالنظر إلى أنه تقدير تم قبل 2,000 عام بلا أي تكنولوجيا حديثة! وفق الخطأ في قياساتك –مثل التاريخ والوقت بالضبط الذي أجريت فيه الاختبار، ومدى دقتك في قياس الزاوية أو طول الظل، ومدى دقة تقدير المسافة بين مدينتك وخط الاستواء– ينبغي أن تكون النتيجة التي توصلت إليها قريبةً للغاية من 40 ألف كيلومتر (بهامش زيادة أو نقص يبلغ بضع مئات أو حتى بضعة آلاف من الكيلومترات). كل ذلك دون أن تغادر فناء منزلك.